5 в 2 степени равно

5 в 2 степени равно

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Определение 1

Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число

0,5

в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени

(0,5)5

.

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием

a

и показателем

n

это будет произведение

n

-ного числа множителей, каждый из которых равен

a

. Это можно записать так:

Как возвести число в натуральную степень

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите

 2

в степень

4

.

Решение

Используя определение выше, запишем:

(2)4=(2)·(2)·(2)·(2)

. Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить

16

.

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение

3272

Решение

Данную запись можно переписать в виде

327·327

. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ:

327·327=237·237=52949=103949

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа

π

.

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда

π2(3,14)2=9,8596

. Если же

π3.14159

, то мы получим более точный результат:

π2(3,14159)2=9,8695877281

.

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени 

(ln 6)3

 или преобразовать, если это возможно:

57=1255

.

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

a1=a

Это понятно из записи Как возвести число в натуральную степень.

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так,

(9)1=9

, а

73

, возведенное в первую степень, останется равно  

73

.

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе

1

. Ранее мы уже поясняли, что

0

-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного

0

, и

a0=1

.

Пример 5

Примеры:

50=1, (2,56)0=1230=1

00

— не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби

1az

, где

а

— любое число, а

z

— целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Пример 6

Возведите

2

в степень

3

.

Решение 

Используя определение выше, запишем:

23=123

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим

8

:

23=2·2·2=8

.

Тогда ответ таков:

23=123=18

Пример 7

Возведите

1,43

в степень

2

.

Решение 

Переформулируем:

1,432=1(1,43)2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом: Как возвести число в целую степень

В итоге у нас вышло

(1,43)2=1(1,43)2=12,0449

. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на

10

тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ:

(1,43)2=1000020449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания:

a1=1a1=1a

.

Пример 8

Пример:

31=1/3

9131=139641=164

.

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем:

amn=amn

при любом положительном

a

, целом

m

и натуральном

n

.

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня

n

-ной степени.

У нас есть равенство

amn=amn

, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде

amn=anm

. Это значит, что если мы возводим число

a

в дробную степень

m/n

, то сначала мы извлекаем корень

n

-ной степени из

а

, потом возводим результат в степень с целым показателем

m

.

Проиллюстрируем на примере.  

Пример 9

Вычислите

823

.

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде:

823=823

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата:

823=1643=133643=133433=14

Способ 2. Преобразуем основное равенство:

823=823=832

После этого извлечем корень

832=2332=22

 и результат возведем в квадрат:

22=122=14

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Пример 10

Возведите

44,89

в степень

2,5

.

Решение 

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь —

44,892,5=49,8952

.

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше:

44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107

Ответ:

13 501,25107

.

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида

0mn

можно придать такой смысл: если 

mn>0

, то

0mn=0mn=0

; если

mn<0

нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю:

0712=0, 0325=0, 00,024=0

, а в целую отрицательную — значения не имеет:

043

.

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем

a

, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение

21,174367

….

Решение

Ограничимся десятичным приближением

an=1,17

. Проведем вычисления с использованием этого числа:

21,172,250116

. Если же взять, к примеру, приближение

an=1,1743

, то ответ будет чуть точнее:

21,174367...21,17432,256833

.



Источник: Zaochnik.com


Добавить комментарий