Как найти условную вероятность

Как найти условную вероятность

Классическое определение вероятности.

В основе классического определения вероятности лежит понятие вероятностного опыта, или вероятностного эксперимента. Его результатом является один из нескольких возможных исходов, называемых элементарными исходами, причем нет оснований ожидать, что какой-либо элементарный исход будет появляться чаще других при повторении вероятностного опыта. Например, рассмотрим вероятностный эксперимент по бросанию игральной кости (кубика). Результатом этого опыта является выпадение одного из 6 очков, нарисованных на гранях кубика.

Таким образом, в этом эксперименте 6 элементарных исходов:

Как найти условную вероятность ,

и каждый из них равноожидаем.

Событием в классическом вероятностном эксперименте является произвольное подмножество множества элементарных исходов. В рассмотренном примере по бросанию игральной кости событием является, например, выпадение четного числа очков, которое состоит из элементарных исходов Как найти условную вероятность .

Вероятностью события Как найти условную вероятность называется число:

Как найти условную вероятность ,

где Как найти условную вероятность число элементарных исходов, из которых состоит событие Как найти условную вероятность (иногда говорят, что это число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события Как найти условную вероятность ), а Как найти условную вероятность — число всех элементарных исходов.

В нашем примере:

Как найти условную вероятность .

 

Элементы комбинаторики.

При описании многих вероятностных опытов элементарные исходы можно отождествить с одним из следующих объектов комбинаторики (науки о конечных множествах).

Перестановкой из Как найти условную вероятность чисел Как найти условную вероятность называется произвольная упорядоченная запись этих чисел без повторений. Например, для множества из трех чисел Как найти условную вероятность имеется 6 различных перестановок:

Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

Для произвольного Как найти условную вероятность число перестановок равно

Как найти условную вероятность

(произведение Как найти условную вероятность подряд стоящих чисел натурального ряда, начиная с 1).

Сочетанием из Как найти условную вероятность по Как найти условную вероятностьназывается произвольный неупорядоченный набор любых Как найти условную вероятность элементов множества Как найти условную вероятность . Например, для множества из трех чисел Как найти условную вероятность имеется 3 различных сочетания из 3 по 2:

Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

Для произвольной пары Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , число сочетаний из Как найти условную вероятность по Как найти условную вероятность равно

Как найти условную вероятность .

Например,

Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность

Гипергеометрическое распределение.

Рассмотрим следующий вероятностный опыт. Имеется черный ящик, в котором лежит Как найти условную вероятность белых и Как найти условную вероятность черных шаров. Шары одинакового размера и неотличимы наощупь. Эксперимент состоит в том, что мы наудачу вытаскиваем Как найти условную вероятность шаров. Событие Как найти условную вероятность , вероятность которого надо найти, состоит в том, что из этих Как найти условную вероятность шаров Как найти условную вероятность — белые, а остальные Как найти условную вероятность — черные.

Перенумеруем все шары числами от 1 до Как найти условную вероятность . Пусть числа 1, ¼, Как найти условную вероятность соответствуют белым шарам, а числа Как найти условную вероятность , ¼, Как найти условную вероятность — черным шарам. Элементарным исходом в этом опыте является неупорядоченный набор Как найти условную вероятность элементов из множества Как найти условную вероятность , то есть сочетание из Как найти условную вероятность по Как найти условную вероятность . Следовательно, имеется Как найти условную вероятность всех элементарных исходов.

Найдем число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события Как найти условную вероятность . Соответствующие наборы состоят из Как найти условную вероятность “белых” и Как найти условную вероятность “черных” чисел. Выбрать Как найти условную вероятность чисел из Как найти условную вероятность “белых” чисел можно Как найти условную вероятность способами, а Как найти условную вероятность чисел из Как найти условную вероятность “черных” ¾ Как найти условную вероятность способами. Белые и черные наборы могут соединяться произвольно, поэтому всего имеется Как найти условную вероятность элементарных исходов, благоприятствующих событию Как найти условную вероятность .

Вероятность события Как найти условную вероятность равна

Как найти условную вероятность .

Полученная формула называется гипергеометрическим распределением.

Задача 5.1. В ящике находится 55 кондиционных и 6 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Решение. Всего имеется 61 деталь, берем 3. Элементарный исход есть сочетание из 61 по 3. Число всех элементарных исходов равно Как найти условную вероятность . Благоприятные исходы делятся на три группы: 1) это те исходы, в которых 1 деталь бракованная, а 2 хорошие; 2) 2 детали бракованные, а 1 хорошая; 3) все 3 детали бракованные. Число наборов первого вида равно Как найти условную вероятность , число наборов второго вида равно Как найти условную вероятность , число наборов третьего вида равно Как найти условную вероятность . Следовательно, появлению события благоприятствуют Как найти условную вероятность элементарных исходов. Вероятность события равна Как найти условную вероятность

Алгебра событий

Пространством элементарных событий Как найти условную вероятностьназывается множество всех элементарных исходов, относящихся к данному опыту.

Суммой Как найти условную вероятность двух событий называется событие, которое состоит из элементарных исходов, принадлежащих событию Как найти условную вероятность или событию Как найти условную вероятность .

Произведением Как найти условную вероятность двух событий называется событие, состоящие из элементарных исходов, принадлежащих одновременно событиям Как найти условную вероятность и Как найти условную вероятность .

События Как найти условную вероятность и Как найти условную вероятность называются несовместными, если Как найти условную вероятность .

Событие Как найти условную вероятность называется противоположным событию Как найти условную вероятность , если событию Как найти условную вероятность благоприятствуют все те элементарные исходы, которые не принадлежат событию Как найти условную вероятность . В частности, Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

ТЕОРЕМА о сумме. Как найти условную вероятность

В частности, Как найти условную вероятность .

Условной вероятностью события Как найти условную вероятность при условии, что событие Как найти условную вероятность произошло, называется отношение числа элементарных исходов, принадлежащих пересечению Как найти условную вероятность , к числу элементарных исходов, принадлежащих Как найти условную вероятность . Иными словами, условная вероятность события Как найти условную вероятность определяется классической формулой вероятности, в которой новым вероятностным пространством является Как найти условную вероятность . Обозначается условная вероятность события через Как найти условную вероятность .

ТЕОРЕМА о произведении. Как найти условную вероятность .

События называются независимыми, если Как найти условную вероятность . Для независимых событий теорема о произведении дает соотношение Как найти условную вероятность .

Следствием теорем о сумме и о произведении является следующие две формулы.

Формула полной вероятности. Полной группой гипотез называется произвольный набор несовместных событий Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , ¼, Как найти условную вероятность , в сумме составляющих все вероятностное пространство:

Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

В этой ситуации для произвольного события Как найти условную вероятность справедлива формула, называемая формулой полной вероятности,

Как найти условную вероятность .

Формула Байеса позволяет пересчитать вероятность каждой из гипотез, при условии, что событие произошло:

Как найти условную вероятность

или, более подробно,

Как найти условную вероятность .

Задача 5.2. Группа состоит из 6 отличников, 12 хорошо успевающих студентов и 22 студентов, успевающих посредственно. Отличник отвечает на 5 и 4 с равной вероятностью, хорошист отвечает на 5, 4 и 3 с равной вероятностью, и посредственно успевающий студент отвечает на 4, 3 и 2 с равной вероятностью. Случайно выбранный студент ответил на 4. Какова вероятность того, что был вызван посредственно успевающий студент?

Решение. Рассмотрим три гипотезы:

Как найти условную вероятность ,

Как найти условную вероятность

Как найти условную вероятность Рассматриваемое событие Как найти условную вероятность . Из условия задачи известно, что

Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

Найдем вероятности гипотез. Поскольку в группе всего 40 студентов, а отличников 6, то Как найти условную вероятность . Аналогично, Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность . Применяя формулу полной вероятности, находим

Как найти условную вероятность

Теперь применим к гипотезе Как найти условную вероятность формулу Байеса:

Как найти условную вероятность

Ответ: Как найти условную вероятность .

Испытания Бернулли.

Рассмотрим вероятностный опыт с двумя элементарными исходами. Обычно эти исходы отождествляют с 1 и 0. Вероятность 1 равна Как найти условную вероятность , вероятность 0 равна Как найти условную вероятность . Стандартным примером является наблюдение за некоторым событием Как найти условную вероятность в том или ином вероятностном эксперименте. Тогда, если событие произошло, то полагают, что выпала 1 (успех), а если нет, то 0 (неудача). Испытанием Бернулли называют повторение Как найти условную вероятность независимых испытаний с двумя исходами. Вопрос состоит в том, чему равна вероятность выпадения Как найти условную вероятность успехов в Как найти условную вероятность испытаниях.

Ответ определяется формулой:

Как найти условную вероятность .

При больших значениях Как найти условную вероятность и Как найти условную вероятность непосредственный подсчет по этой затруднителен. Поэтому применяют приближенную формулу

Как найти условную вероятность

(соответствующее утверждение называют локальной теоремой Муавра-Лапласа). Если требуется найти сумму Как найти условную вероятность , то можно использовать асимптотическую формулу из интегральной теоремы Муавра-Лапласа

Как найти условную вероятность ,

где Как найти условную вероятность есть функция Лапласа, Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность . Функция Лапласа затабулирована, и ее значения при заданном Как найти условную вероятность можно найти в любом учебнике по теории вероятности и математической статистике.

Задача 5.3. Известно, что в большой партии деталей имеется 11% бракованных. Для проверки выбирается 100 деталей. Какова вероятность того, что среди них найдется не более 14 бракованных? Оценить ответ с использованием теоремы Муавра-Лапласа.

Решение. Мы имеем дело с испытанием Бернулли, где Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность . Успехом считается обнаружить бракованную деталь, и число успехов удовлетворяет неравенству Как найти условную вероятность . Следовательно,

Как найти условную вероятность .

Прямой подсчет дает:

Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

Следовательно, Как найти условную вероятность . Теперь применим интегральную теорему Муавра-Лапласа. Получаем:

Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

Используя таблицу значений функции Как найти условную вероятность , с учетом нечетности функции, получаем

Как найти условную вероятность

Ошибка приближенного вычисления не превышает Как найти условную вероятность .

Случайные величины

Случайной величиной называется числовая характеристика вероятностного опыта, которая является функцией от элементарных исходов. Если Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , ¼, Как найти условную вероятность есть множество элементарных исходов, то случайная величина Как найти условную вероятность есть функция Как найти условную вероятность . Удобнее, однако, охарактеризовать случайную величину Как найти условную вероятность , перечислив все ее возможные значения Как найти условную вероятность и вероятности, с которыми она принимает это значение Как найти условную вероятность .

Такая таблица называется законом распределения случайной величины. Поскольку события Как найти условную вероятность образуют полную группу, выполнен закон вероятностной нормировки

Как найти условную вероятность .

Математическое ожидание, или среднее значение, случайной величины Как найти условную вероятность есть число, равное сумме произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности.

Как найти условную вероятность

Дисперсия (степень разброса значений вокруг математического ожидания) случайной величины Как найти условную вероятность есть математическое ожидание случайной величины Как найти условную вероятность ,

Как найти условную вероятность .

Можно показать, что

Как найти условную вероятность

Величина

Как найти условную вероятность

называется средним квадратичным уклонением случайной величины Как найти условную вероятность .

Функцией распределения Как найти условную вероятность для случайной величины Как найти условную вероятность есть вероятность попасть на множество Как найти условную вероятность , то есть

Как найти условную вероятность .

Как найти условную вероятность является неотрицательной, неубывающей функцией, принимающей значения от 0 до 1. Для случайной величины, имеющей конечное множество значений, Как найти условную вероятность является кусочно-постоянной функцией, имеющие разрывы второго рода в точках состояний Как найти условную вероятность . При этом Как найти условную вероятность непрерывна слева и Как найти условную вероятность .

Задача 5.4. Производится последовательное бросание двух игральных костей. При выпадении на одной игральной кости одного, трех или пяти очков игрок лишается 5 рублей. При выпадении двух или четырех очков игрок получает 7рублей. При выпадении шести очков игрок лишается 12рублей. Случайная величина x есть выигрыш игрока при двух бросаниях костей. Найти закон распределения x, построить график функции распределения, найти математическое ожидание и дисперсию x.

Решение. Рассмотрим сначала, чему равен выигрыш игрока при одном бросании кубика. Пусть событие Как найти условную вероятность состоит в том, что выпало 1, 3 или 5 очков. Тогда Как найти условную вероятность , а выигрыш составит Как найти условную вероятность рублей. Пусть событие Как найти условную вероятность состоит в том, что выпало 2 или 4 очка. Тогда Как найти условную вероятность , а выигрыш составит Как найти условную вероятность рублей. Наконец, пусть событие Как найти условную вероятность означает выпадение 6 очков. Тогда Как найти условную вероятность и выигрыш равен Как найти условную вероятность рублей.

Теперь рассмотрим все возможные комбинации событий Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность и Как найти условную вероятность при двух бросаниях кости, и определим значения выигрыша Как найти условную вероятность при каждой такой комбинации.

Если произошло событие Как найти условную вероятность , то Как найти условную вероятность , при этом Как найти условную вероятность .

Если произошло событие Как найти условную вероятность , то Как найти условную вероятность , при этом Как найти условную вероятность .

Если произошло событие Как найти условную вероятность , то Как найти условную вероятность , при этом Как найти условную вероятность .

Аналогично, при Как найти условную вероятность получаем Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

При Как найти условную вероятностьКак найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

При Как найти условную вероятностьКак найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

При Как найти условную вероятностьКак найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

При Как найти условную вероятностьКак найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

При Как найти условную вероятностьКак найти условную вероятность , Как найти условную вероятность .

Все найденные состояния Как найти условную вероятность и суммарные вероятности этих состояний записываем в таблицу:

Проверяем выполнение закона вероятностной нормировки:

Как найти условную вероятность .

Найдем математическое ожидание Как найти условную вероятность :

Как найти условную вероятность

Найдем дисперсию

Как найти условную вероятность

Функция распределения случайной величины имеет вид

 
  Как найти условную вероятность

 

Как найти условную вероятность

Как найти условную вероятностьКак найти условную вероятностьКак найти условную вероятностьКак найти условную вероятность 2 14 Как найти условную вероятность

Непрерывные случайные величины.

Если случайная величина принимает бесконечно много значений, например, все значения из некоторого интервала, то ее закон распределения определяется следующим образом. Мы должны определить вероятность любого события, связанного с данной случайной величиной. В частности, для произвольного интервала Как найти условную вероятность на вещественной прямой нужно уметь определить вероятность попадания случайной величины в этот интервал

Как найти условную вероятность .

Проще всего это сделать через функцию распределения случайной величины Как найти условную вероятность . Пусть, по—прежнему,

Как найти условную вероятность .

Тогда

Как найти условную вероятность

( Как найти условную вероятность обозначает предел справа функции Как найти условную вероятность в точке Как найти условную вероятность ). Таким образом, закон распределения непрерывной случайной величины определяется функцией распределения Как найти условную вероятность .

Для многих стандартных законов распределения функция Как найти условную вероятность выглядит достаточно громоздко, и, кроме того, не выражается через элементарные функции. Для определения закона распределения часто используют функцию плотности распределения:

Как найти условную вероятность .

Тогда, если функция Как найти условную вероятность оказывается дифференцируемой, то:

Как найти условную вероятность .

В частности,

Как найти условную вероятность

Поскольку функция распределения Как найти условную вероятность является не убывающей, то Как найти условную вероятность . Условие вероятностной нормировки Как найти условную вероятность сводится к тому, что

Как найти условную вероятность .

Математическое ожидание непрерывно распределенной случайной величины равно

Как найти условную вероятность .

Дисперсия определяется формулой

Как найти условную вероятность .

Полезно запомнить следующие три стандартных закона распределения.

1) Равномерное распределение. Функция плотности имеет вид:

Как найти условную вероятность

Математическое ожидание равномерного закона равно Как найти условную вероятность (это в точности середина отрезка распределения), а дисперсия Как найти условную вероятность .

2) Пуассоновское распределение. Функция плотности имеет вид:

Как найти условную вероятность

Математическое ожидание пуассоновского распределения равно Как найти условную вероятность , а дисперсия Как найти условную вероятность .

3) Нормальное распределение. Функция плотности имеет вид

Как найти условную вероятность .

Наиболее важным законом является нормальный закон распределения. График функции плотности нормального закона представляет собой колоколообразную кривую, имеющую наибольшее значение в точке Как найти условную вероятность и быстро убывающую при Как найти условную вероятность . В частности, справедливо правило Как найти условную вероятность : 99% площади фигуры, заключенной между графиком плотности нормального закона и осью абсцисс, приходится на отрезок Как найти условную вероятность . Математическое ожидание нормального закона равно Как найти условную вероятность , а дисперсия равна Как найти условную вероятность .

Как найти условную вероятностьКак найти условную вероятность

Как найти условную вероятностьКак найти условную вероятностьКак найти условную вероятностьКак найти условную вероятность

Значение нормального закона распределения для теории вероятности и математической статистики определяется центральной предельной теоремой Ляпунова. Пусть

Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность , ¼, Как найти условную вероятность

независимые, одинаково распределенные случайные величины с произвольным законом распределения. Если Как найти условную вероятность — математическое ожидание, а Как найти условную вероятность дисперсия этих случайных величин, то случайная величина

Как найти условную вероятность

при Как найти условную вероятность распределена асимптотически нормально с показателями Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность . Это означает, что при любых фиксированных Как найти условную вероятность , Как найти условную вероятность

Как найти условную вероятность .

Точнее, при Как найти условную вероятность предел отношения правой и левой частей формулы равен 1.

Задача 5.5. Для случайной величины, распределенной по закону косинуса с плотностью

Как найти условную вероятность

найти константу С, вероятность попадания в интервал ( Как найти условную вероятностьp, Как найти условную вероятностьp), а также математическое ожидание и дисперсию.

Решение. С учетом вероятностной нормировки Как найти условную вероятность , получаем

Как найти условную вероятность

следовательно, Как найти условную вероятность .

Вероятность попадания в интервал есть интеграл от плотности по этому интегралу,

Как найти условную вероятность

Математическое ожидание равно:

Как найти условную вероятность

(впрочем, это было очевидно с самого начала, поскольку мы интегрируем нечетную функцию по симметричной относительно начала координат области).

Дисперсия равна:

Как найти условную вероятность

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:



Источник: studopedia.ru


Добавить комментарий