Как вычитание дробь на дробь с разными знаменателями

Как вычитание дробь на дробь с разными знаменателями


Сложение и вычитание с одинаковыми знаменателями

Чтобы выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, надо найти сумму или разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Выполните сложение алгебраических дробей:

а)   a + 3  +  a — 3         б)   2b — 1  +  b + 4
b b 2 2

Решение: складываем числители дробей и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

а)   a + 3  +  a — 3  =  (a + 3) + (a — 3)  =  a + 3 + a3  =  2a
b b b b b

б)   2b — 1  +  b + 4  =  (2b — 1) + (b + 4)  =  2b1 + b + 4  =  3b + 3
2 2 2 2 2

Пример 2. Выполните вычитание алгебраических дробей:

а)   x + 5  —  5x         б)   a + b  —  a + 4
3 3 a — 5 a — 5

Решение: вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

а)   x + 5  —  5x  =  x + 5 — 5x  =  5 — 4x
3 3 3 3

б)   a + b  —  a + 4  =  (a + b) — (a + 4)  =  a + ba — 4  =  b — 4
a — 5 a — 5 a — 5 a — 5 a — 5

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями в виде общих формул:

a  +  b   =   a + b      и      a    b   =   a b           (c≠0)
c c c c c c

Если дроби имеют знаменатели, состоящие из противоположных выражений, то есть выражений, отличающихся только знаком, надо тождественно преобразовать одну из дробей, чтобы привести их к общему знаменателю. Преобразование выполняется в соответствии с правилами знаков:

Данное преобразование можно рассматривать как умножение числителя и знаменателя дроби на -1. Следовательно, если числитель и знаменатель алгебраической дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной. Полученную дробь можно переписать, поставив один из минусов перед дробью:

a  =  a  = — a  = — a
b b b b

Также, любую отрицательную дробь можно сделать положительной, перенеся минус, стоящий перед дробью, в числитель или знаменатель:

Пример 1. Найдите сумму дробей:

Решение: чтобы выполнить сложение, поменяем знаки перед второй дробью и в её знаменателе на противоположные:

5a  +  3a  =  5a  —  3a  =  5a  —  3a  =  2a
bc cb bc -(cb) bc bc bc

Пример 2. Найдите разность дробей:

Решение: чтобы выполнить вычитание, перенесём знак минус, стоящий перед второй дробью, в её знаменатель:

n + 5  —  2n  =  n + 5  +  2n  =  n + 5  +  2n  =  3n + 5
n2m mn2 n2m -(mn2) n2m n2m n2m

Сложение и вычитание с разными знаменателями

Чтобы найти сумму или разность алгебраических дробей с разными знаменателями, надо:

  • найти общий знаменатель,
  • привести алгебраические дроби к общему знаменателю,
  • выполнить сложение или вычитание,
  • сократить полученную дробь, если это возможно.

Пример 1. Выполните сложение дробей:

Решение: находим общий знаменатель. Он будет равен произведению знаменателей данных дробей:

(a + b)(ab)

Как находить общий знаменатель, Вы можете узнать на странице Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Далее умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:

2a(ab) = 2a2 — 2ab

b(a + b) = ab + b2

Общий знаменатель можно свернуть в разность квадратов. В итоге у нас получится:

2a  +  b  =  2a2 — 2ab  +  ab + b2  = 
a + b ab a2b2 a2b2

 =  2a22ab + ab + b2  =  2a2ab + b2
a2b2 a2b2

Пример 2. Выполните вычитание дробей:

Решение: разложим знаменатель первой дроби на множители:

a2ab = a(ab)

Так как данное выражение делится на знаменатель второй дроби, то возьмём его в качестве общего знаменателя. Значит, теперь нам надо умножить числитель второй дроби на дополнительный множитель a:

2 · a = 2a

Получаем:

b  —  2  =  b  —  2a  =  b — 2a
a2ab ab a(ab) a(ab) a(ab)

Пример 3. Выполните сложение:

Решение: запишем первое слагаемое в виде дроби и приведём её к знаменателю 1 — x:

x x2  =  x  +  x2  =  x(1 — x)  +  x2  =  xx2  +  x2
1 — x 1 1 — x 1 — x 1 — x 1 — x 1 — x

Теперь можно выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

xx2  +  x2  =  xx2 + x2  =  x
1 — x 1 — x 1 — x 1 — x

Точно также можно выполнять сложение и вычитание алгебраических дробей с любыми многочленами.



Источник: naobumium.info


Добавить комментарий